Part101　阻尼振动

最简单的振动是简谐振动，它是不考虑阻力的 无阻尼自由振动。振动系统受到阻力的作用时，我们称之为 阻尼振动。在没有能量补充的情况下，阻尼振动的能量因阻力做负功而不断减小，振幅不断减小，故而又称为 减幅振动。

考虑一种比较简单的情况：阻力大小正比于速度，即

有了这样阻力作用之后，振动物体的运动方程就可以表示为

令

这里的 称为振动系统的 固有角频率， 称为 阻尼系数，代入运动方程得

在阻尼比较小时，即 时，解得

其中

而常数 为初始振幅、 为初相位，由初始条件决定。

阻尼振动也有 周期（严格来说不是周期性运动，只能叫 准周期）和 频率，可以发现阻尼振动的周期比振动系统的固有周期长，阻尼振动的频率比固有频率小。

Part202　受迫振动

振动系统因阻尼而损耗能量，振幅不断衰减。为了维持振幅不衰减，可以给振动系统施加周期性的 驱动力，这种振动称为 受迫振动。

考虑一种简单的驱动力：驱动力随时间按余弦规律变化，设为 。受迫振动的运动方程可以写成

令

这里的 为振动系统的固有角频率， 为阻尼系数， 反映了驱动的强度，代入运动方程得

解得

式中第一项表示它是一个减幅振动，经过一段时间后，这一分振动就减弱到可以忽略不计了。余下的就是第二项表示的振幅不变的振动，即经过足够长时间后，振动就变成了

其中稳定之后的振幅 和受迫振动与驱动力的相位差 分别为

对于确定的振动系统（固有频率 和阻尼系数 确定），通过求极值可以得到振幅最大时驱动力的角频率 和最大振幅 分别为

在弱阻尼或理想无阻尼的情况下，即 ，当 时振幅最大，这种情况称为 共振。在阻尼稍强的情况下，要达到共振，驱动频率需要略小于固有频率。

Part303　总结及对比

〔总结1〕振动系统在受到与速度成正比的阻力作用下做阻尼振动，如果阻尼系数较小，阻尼振动的周期略大于振动系统的固有周期，阻尼振动的频率略小于振动系统的固有频率。阻尼系数较大时，即过阻尼，振动系统将从原来远离平衡位置慢慢回到平衡位置而不存在振动周期。

〔总结2〕如果给振动系统施加余弦驱动力，经过一段时间，振动系统的频率将等于驱动频率，与固有频率无关。在阻尼系数较小时，驱动频率与固有频率相等时，系统达到共振。阻尼系数稍大时，达到共振的驱动频率略小于系统固有频率。

〔对比1〕高中课本中出现的共振曲线，是在弱阻尼或者无阻尼的情况下得到的，实际上达到共振的驱动频率应略小于固有频率。

〔对比2〕某些教辅资料上提到的阻尼振动的频率等于固有频率，也是在弱阻尼的情况下的结论，实际上阻尼振动频率应略小于固有频率。

Part4

普通物理老师一枚，非物理专家，知识有限，错漏难免。公号推文，只为记录。欢迎学术内交流，接受善意批评。不带感情色彩的表述观点，不诱导表态的交流意见。

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